画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、四則演算、因数分解、分母の有理化、方程式、二次関数、三角形に関する問題があります。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、四則演算、因数分解、分母の有理化、方程式、二次関数、三角形に関する問題があります。

2. 解き方の手順

(1)

a) $21 \times 12 + 12 \times (-5) + 34 \times 12 = 12 \times (21 - 5 + 34) = 12 \times 50 = 600$

b) $\frac{5}{2} \div 0.5 - 3 (\frac{16}{15} + 1) = \frac{5}{2} \div \frac{1}{2} - 3 (\frac{16}{15} + \frac{15}{15}) = 5 - 3 \times \frac{31}{15} = 5 - \frac{31}{5} = \frac{25}{5} - \frac{31}{5} = -\frac{6}{5}$

c) $-(-2)^3 \div 4 - (-6) \times (-2)^2 = -(-8) \div 4 - (-6) \times 4 = 8 \div 4 + 6 \times 4 = 2 + 24 = 26$

(2)

a) $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$

b) $2x^2 - 6xy + x + 3y - 1 = 2x^2 + x - 1 - 6xy + 3y = (2x - 1)(x+1) - 3y(2x-1) = (2x-1)(x-3y+1)$

(3)

$\frac{2\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{6}\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{6} + \sqrt{2}\sqrt{2}}{6 - 2} = \frac{2(6) + 3\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{12 + 6\sqrt{3} + 2}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{7+3\sqrt{3}}{2}$

(4)

$|5x - 10| - 15 = 0$

$|5x - 10| = 15$

$5x - 10 = 15$ または $5x - 10 = -15$

$5x = 25$ または $5x = -5$

$x = 5$ または $x = -1$

(5)

$2x^2 - (a+3)x - a^2 + 1 = 0$

$x = -2$ を代入すると、

$2(-2)^2 - (a+3)(-2) - a^2 + 1 = 0$

$8 + 2a + 6 - a^2 + 1 = 0$

$-a^2 + 2a + 15 = 0$

$a^2 - 2a - 15 = 0$

$(a-5)(a+3) = 0$

$a = 5$ または $a = -3$

$a$は自然数なので、$a = 5$

$2x^2 - (5+3)x - 5^2 + 1 = 0$

$2x^2 - 8x - 24 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

$(x-6)(x+2) = 0$

$x = 6, -2$

他の解は、$x = 6$

(6)

$y = -3x^2 + 12x + 2 = -3(x^2 - 4x) + 2 = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = -3(x-2)^2 + 12 + 2 = -3(x-2)^2 + 14$

軸は、$x = 2$

$-1 \le x \le 4$のとき、

$x = 2$で最大値$14$

$x = -1$で最小値$y = -3(-1-2)^2 + 14 = -3(9) + 14 = -27+14 = -13$

(7)

$\triangle ABC$において、$AB = 4$, $BC = \sqrt{13}$, $CA = 3$

余弦定理より、

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} = \frac{4^2 + 3^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{16 + 9 - 13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$\angle BAC = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

a) アイウ = 600

b) エオカ = -6, キ = 5

c) クケ = 26

(2)

a) コ = 4, サ = 3

b) シ = 2, ス = 1, セ = 3, ソ = 1

(3)

タ = 7, チ = 3, ツ = 3, テ = 2

(4)

トナ = 5, ニ = -1

(5)

ヌ = 5, ネ = 6

(6)

ノ = 2, ハ = 2, ヒフ = 14, ヘホ = -1, マミム = -13

(7)

メモ = 60