問題は $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ の形に変形できるとき、二乗すると

$a+b\sqrt{c} = x + y + 2\sqrt{xy}$

となるので、$x+y = a$ および $4xy = b^2c$ となる $x$ と $y$ を見つければよいです。

この問題の場合、$a=2$, $b=1$, $c=3$ なので、

$x+y = 2$

$4xy = 3$

となる $x$ と $y$ を探します。

$y = 2-x$ なので、

$4x(2-x) = 3$

$8x - 4x^2 = 3$

$4x^2 - 8x + 3 = 0$

$(2x-1)(2x-3) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{3}{2}$

よって、

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$