問題は3つあります。 (9) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{5}$のとき、$\sin 2\theta$の値を求める。 (10) データ80, 70, 50, 85, 45, 90の平均値と中央値を求める。 (11) 次の式を簡単にする。 (a) $(\sqrt{3})^4 \times 3^{-2} \div (\frac{1}{3})^{-3} \times \sqrt{81}$ (b) $(\log_{10} 2)^2 + \log_{10} 4 \cdot \log_{10} 50 + (\log_{10} 50)^2$

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(9) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{5}$のとき、$\sin 2\theta$の値を求める。

(10) データ80, 70, 50, 85, 45, 90の平均値と中央値を求める。

(11) 次の式を簡単にする。

(a) $(\sqrt{3})^4 \times 3^{-2} \div (\frac{1}{3})^{-3} \times \sqrt{81}$

(b) $(\log_{10} 2)^2 + \log_{10} 4 \cdot \log_{10} 50 + (\log_{10} 50)^2$

2. 解き方の手順

(9) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{5}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{3}{5})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{25}$

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{25}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{25} - 1 = \frac{9 - 25}{25} = -\frac{16}{25}$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{16}{25}$

(10) 平均値は、$\frac{80 + 70 + 50 + 85 + 45 + 90}{6} = \frac{420}{6} = 70$

データを小さい順に並べると、45, 50, 70, 80, 85, 90。中央値は、$\frac{70+80}{2} = \frac{150}{2} = 75$

(11a) $(\sqrt{3})^4 \times 3^{-2} \div (\frac{1}{3})^{-3} \times \sqrt{81}$

$= (3^{\frac{1}{2}})^4 \times \frac{1}{3^2} \div (3^{-1})^{-3} \times 9$

$= 3^2 \times \frac{1}{9} \div 3^3 \times 9$

$= 9 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{27} \times 9$

$= \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

(11b) $(\log_{10} 2)^2 + \log_{10} 4 \cdot \log_{10} 50 + (\log_{10} 50)^2$

$= (\log_{10} 2)^2 + \log_{10} 2^2 \cdot \log_{10} (5 \times 10) + (\log_{10} (5 \times 10))^2$

$= (\log_{10} 2)^2 + 2\log_{10} 2 \cdot (\log_{10} 5 + \log_{10} 10) + (\log_{10} 5 + 1)^2$

$= (\log_{10} 2)^2 + 2\log_{10} 2 \cdot (\log_{10} 5 + 1) + (\log_{10} 5)^2 + 2\log_{10} 5 + 1$

$= (\log_{10} 2)^2 + 2\log_{10} 2 \cdot \log_{10} 5 + 2\log_{10} 2 + (\log_{10} 5)^2 + 2\log_{10} 5 + 1$

$= (\log_{10} 2 + \log_{10} 5)^2 + 2(\log_{10} 2 + \log_{10} 5) + 1$

$= (\log_{10} (2 \times 5))^2 + 2\log_{10} 10 + 1$

$= (\log_{10} 10)^2 + 2 \cdot 1 + 1$

$= 1^2 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

(9) $\sin 2\theta = -\frac{16}{25}$

(10) 平均値: 70, 中央値: 75

(11a) $\frac{1}{3}$

(11b) 4