与えられた条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) $x^3 + 5x^2 + ax + 2$ を $x-2$ で割ったときの余りが $2$ である。 (2) $x^3 + 3x^2 - 2x + a$ が $x+1$ で割り切れる。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) $x^3 + 5x^2 + ax + 2$ を $x-2$ で割ったときの余りが $2$ である。

(2) $x^3 + 3x^2 - 2x + a$ が $x+1$ で割り切れる。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$P(x) = x^3 + 5x^2 + ax + 2$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ である。条件より、$P(2) = 2$ である。

$P(2) = (2)^3 + 5(2)^2 + a(2) + 2 = 8 + 20 + 2a + 2 = 30 + 2a$

よって、

$30 + 2a = 2$

$2a = -28$

$a = -14$

(2) 因数定理より、$Q(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + a$ が $x+1$ で割り切れるとき、$Q(-1) = 0$ である。

$Q(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) + a = -1 + 3 + 2 + a = 4 + a$

よって、

$4 + a = 0$

$a = -4$

3. 最終的な答え

(1) $a = -14$

(2) $a = -4$