複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $|\alpha|$ (2) $|\alpha\beta^2|$ (3) $\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right|$ (4) $\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $|\alpha|$

(2) $|\alpha\beta^2|$

(3) $\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right|$

(4) $\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right|$

2. 解き方の手順

まず、複素数の絶対値の定義を確認します。複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算されます。また、絶対値の性質として、以下のものが重要です。

* $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$

* $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

* $|z^n| = |z|^n$

(1) $|\alpha|$ の計算

$\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ なので、

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|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3

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(2) $|\alpha\beta^2|$ の計算

$|\alpha\beta^2| = |\alpha||\beta^2| = |\alpha||\beta|^2$ なので、まず $|\beta|$ を計算します。

$\beta = 4 - 3i$ なので、

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|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

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したがって、

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|\alpha\beta^2| = |\alpha||\beta|^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75

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(3) $\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right|$ の計算

$\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right| = \frac{1}{|\alpha\beta|} = \frac{1}{|\alpha||\beta|}$ なので、

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\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right| = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}

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(4) $\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right|$ の計算

$\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3}$ なので、

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\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right| = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}

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3. 最終的な答え

(1) $|\alpha| = 3$

(2) $|\alpha\beta^2| = 75$

(3) $\left|\frac{1}{\alpha\beta}\right| = \frac{1}{15}$

(4) $\left|\frac{\beta^2}{\alpha^3}\right| = \frac{25}{27}$