与えられた連立方程式 $ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases} $ を行列を用いて書き直し、逆行列を使って解 $x$ と $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$$

\begin{cases}

x + 2y = 5 \\

3x + 4y = 6

\end{cases}

$$

を行列を用いて書き直し、逆行列を使って解 $x$ と $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列の形で表します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 \\

3 & 4

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

5 \\

6

\end{pmatrix}

$$

係数行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、未知数ベクトルを $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$、定数ベクトルを $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ とすると、

$AX = B$

となります。

次に、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$

です。

したがって、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$$

A^{-1} = \frac{1}{|A|}

\begin{pmatrix}

4 & -2 \\

-3 & 1

\end{pmatrix}

= \frac{1}{-2}

\begin{pmatrix}

4 & -2 \\

-3 & 1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-2 & 1 \\

\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}

$$

となります。

連立方程式の解は、

$X = A^{-1}B$

で与えられるので、

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-2 & 1 \\

\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

5 \\

6

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

(-2 \times 5) + (1 \times 6) \\

(\frac{3}{2} \times 5) + (-\frac{1}{2} \times 6)

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-10 + 6 \\

\frac{15}{2} - \frac{6}{2}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-4 \\

\frac{9}{2}

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x = -4$、$y = \frac{9}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -4$

$y = \frac{9}{2}$