複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $|\alpha^4|$ (2) $|\alpha\beta^2|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $|\alpha^4|$

(2) $|\alpha\beta^2|$

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha^4|$ を求める。

複素数 $\alpha$ の絶対値は $|\alpha| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で求められます。

まず、$\alpha$ の絶対値を求めます。

$|\alpha| = |1 + 2\sqrt{2}i| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

次に、$\alpha^4$ の絶対値を求めます。複素数の絶対値の性質より、$|\alpha^n| = |\alpha|^n$ なので、

$|\alpha^4| = |\alpha|^4 = 3^4 = 81$

(2) $|\alpha\beta^2|$ を求める。

複素数 $\beta$ の絶対値を求めます。

$|\beta| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

次に、$\beta^2$ の絶対値を求めます。

$|\beta^2| = |\beta|^2 = 5^2 = 25$

次に、$\alpha\beta^2$ の絶対値を求めます。複素数の絶対値の性質より、$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$ なので、

$|\alpha\beta^2| = |\alpha||\beta^2| = 3 \times 25 = 75$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha^4| = 81$

(2) $|\alpha\beta^2| = 75$