関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2) = 9$ かつ $f^{-1}(1) = -2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2) = 9$ かつ $f^{-1}(1) = -2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$f(2) = 9$ より、

$$\frac{2a+1}{4+b} = 9$$

$$2a+1 = 9(4+b)$$

$$2a+1 = 36 + 9b$$

$$2a - 9b = 35 \quad (1)$$

次に、$f^{-1}(1) = -2$ より、$f(-2) = 1$ であるから、

$$\frac{-2a+1}{-4+b} = 1$$

$$-2a+1 = -4+b$$

$$-2a-b = -5$$

$$2a + b = 5 \quad (2)$$

(1) と (2) の連立方程式を解く。

(1) + (2) より、

$$(2a - 9b) + (2a + b) = 35 + 5$$

$$4a - 8b = 40$$

$$a - 2b = 10 \quad (3)$$

(2) より、$2a = 5 - b$ なので、$a = \frac{5-b}{2}$。

(3) に代入して、

$$\frac{5-b}{2} - 2b = 10$$

$$5-b - 4b = 20$$

$$-5b = 15$$

$$b = -3$$

(2) に $b = -3$ を代入して、

$$2a + (-3) = 5$$

$$2a = 8$$

$$a = 4$$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = -3$