複素数 $z$ の方程式 $z^2 = 16 + 16i$ の解について考える問題です。まず、複素数 $16+16i$ を極形式で表し、次に $z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおいて、与えられた方程式を満たす $r$ と $\theta$ の値を求めます。最後に、解が複素数平面上でどの象限に存在するかを調べます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ の方程式 $z^2 = 16 + 16i$ の解について考える問題です。まず、複素数 $16+16i$ を極形式で表し、次に $z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおいて、与えられた方程式を満たす $r$ と $\theta$ の値を求めます。最後に、解が複素数平面上でどの象限に存在するかを調べます。

2. 解き方の手順

まず、$16+16i$ を極形式で表します。絶対値 $|16+16i| = \sqrt{16^2+16^2} = \sqrt{2\times 16^2} = 16\sqrt{2}$. よって、$16+16i = 16\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos{\frac{\pi}{4}}$ , $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin{\frac{\pi}{4}}$ であるので、

$16+16i = 16\sqrt{2} \left(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)$.

次に、$z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおくと、

$z^2 = r^2 (\cos{2\theta} + i\sin{2\theta})$.

$z^2 = 16+16i$ であるので、 $r^2 (\cos{2\theta} + i\sin{2\theta}) = 16\sqrt{2} \left(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)$.

したがって、$r^2 = 16\sqrt{2}$ より $r = \sqrt{16\sqrt{2}} = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2^{\frac{9}{2}}} = 2^{\frac{9}{4}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 4 \sqrt[4]{2}$.

また、$2\theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$は整数)なので、$\theta = \frac{\pi}{8} + n\pi$.

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}$.

$\theta = \frac{\pi}{8}$ が最小の値です。

$\theta = \frac{\pi}{8}$ は第1象限にあり、$\theta = \frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$ は第3象限にあります。

よって、第1象限に1個、第2象限に0個、第3象限に1個、第4象限に0個存在します。

3. 最終的な答え

アイ: 16

ウ: 2

エ: 4

オ: 2

カ: $4\sqrt[4]{2}$

キク: 8

ケ: 1

コ: 0

サ: 1

シ: 0