$(1+x)^{10}$ の展開式を利用して、以下の2つの値を求めます。 (1) ${}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + \dots + {}_{10}C_{10}$ (2) ${}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10}$

1. 問題の内容

$(1+x)^{10}$ の展開式を利用して、以下の2つの値を求めます。

(1) ${}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + \dots + {}_{10}C_{10}$

(2) ${}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10}$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、

$(1+x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k x^k = {}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 x + {}_{10}C_2 x^2 + \dots + {}_{10}C_{10} x^{10}$

この式に $x=1$ を代入すると、

$(1+1)^{10} = {}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 (1) + {}_{10}C_2 (1)^2 + \dots + {}_{10}C_{10} (1)^{10}$

$2^{10} = {}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + \dots + {}_{10}C_{10}$

したがって、${}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + \dots + {}_{10}C_{10} = 2^{10}$

(2) 同様に、$(1+x)^{10}$ の展開式に $x=-1$ を代入すると、

$(1+(-1))^{10} = {}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 (-1) + {}_{10}C_2 (-1)^2 + \dots + {}_{10}C_{10} (-1)^{10}$

$0^{10} = {}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10}$

$0 = {}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10}$

したがって、${}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10} = 0$

3. 最終的な答え

(1) ${}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + \dots + {}_{10}C_{10} = 1024$

(2) ${}_{10}C_0 - {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 - \dots + {}_{10}C_{10} = 0$