実数 $a, b, c$ に対して、以下の不等式が成り立つことを示す。 (1) $2(a^4 + b^4) \geq (a + b)(a^3 + b^3)$ (2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)$

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ に対して、以下の不等式が成り立つことを示す。

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a + b)(a^3 + b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の左辺と右辺の差を計算し、それが0以上であることを示す。

$2(a^4 + b^4) - (a + b)(a^3 + b^3) = 2a^4 + 2b^4 - (a^4 + ab^3 + a^3b + b^4) = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 = a^3(a - b) - b^3(a - b) = (a - b)(a^3 - b^3) = (a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2)$

ここで、$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$ である。

したがって、$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0$ である。

よって、$2(a^4 + b^4) \geq (a + b)(a^3 + b^3)$ が成り立つ。

(2) シュワルツの不等式を使う。

$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2$

ここで、$x_1 = \sqrt{a}, x_2 = \sqrt{b}, x_3 = \sqrt{c}, y_1 = a\sqrt{a}, y_2 = b\sqrt{b}, y_3 = c\sqrt{c}$ とすると、

$(a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$

また、コーシー・シュワルツの不等式を利用する。

$(1^2 + 1^2 + 1^2)(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$

したがって、$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2 \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)$ とは言えないので、別の方法を用いる。

$3(a^4 + b^4 + c^4) - (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3) = 3a^4 + 3b^4 + 3c^4 - (a^4 + ab^3 + ac^3 + a^3b + b^4 + bc^3 + a^3c + b^3c + c^4) = 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 - ab^3 - ac^3 - a^3b - bc^3 - a^3c - b^3c = (a^4 - 2a^3b + b^4) + (b^4 - 2b^3c + c^4) + (c^4 + a^4 - 2c^3a) - (ab^3 + a^3b - 2a^2b^2) - (bc^3 + b^3c - 2b^2c^2) - (ca^3 + c^3a - 2c^2a^2) \geq 0$

$2a^4 + 2b^4 + 2c^4 - a^3b - ab^3 - a^3c - ac^3 - b^3c - bc^3 = a^4 + b^4 + c^4 - a^3b - ab^3 + a^4 + b^4 + c^4 - b^3c - bc^3 \geq 0$

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0$より

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a + b)(a^3 + b^3)$ が成り立つ。

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)$ が成り立つ。