与えられた式 $a^2 + 6a(b-c) + 9(b-c)^2$ を因数分解して、$(a+...)^2$ の形にする。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + 6a(b-c) + 9(b-c)^2$ を因数分解して、$(a+...)^2$ の形にする。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$(a+3(b-c))^2$ の形に変形できる。

確認のために、式を展開してみる。

$(a+3(b-c))^2 = (a+3b-3c)^2$

$= a^2 + (3b-3c)^2 + 2a(3b-3c)$

$= a^2 + 9(b-c)^2 + 6a(b-c)$

$= a^2 + 9(b^2 -2bc + c^2) + 6ab - 6ac$

$= a^2 + 9b^2 -18bc + 9c^2 + 6ab - 6ac$

もとの式は $a^2 + 6a(b-c) + 9(b-c)^2$ だったので、これは $a^2 + 6ab - 6ac + 9(b^2 - 2bc + c^2) = a^2 + 6ab - 6ac + 9b^2 - 18bc + 9c^2$ となる。

したがって、$a^2 + 6a(b-c) + 9(b-c)^2 = (a+3(b-c))^2 = (a+3b-3c)^2$ である。

3. 最終的な答え

$(a+3b-3c)^2$