関数 $f(x) = \frac{ax+b}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2)=9$ かつ $f^{-1}(1)=-2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax+b}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2)=9$ かつ $f^{-1}(1)=-2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(2)=9$ より、

$f(2) = \frac{2a+b}{4+b} = 9$

$2a+b = 9(4+b)$

$2a+b = 36+9b$

$2a - 8b = 36$

$a - 4b = 18$ (1)

次に、$f(x) = \frac{ax+b}{2x+b}$ の逆関数を求めます。

$y = \frac{ax+b}{2x+b}$

$y(2x+b) = ax+b$

$2xy+by = ax+b$

$2xy-ax = b-by$

$x(2y-a) = b-by$

$x = \frac{b-by}{2y-a}$

よって、$f^{-1}(x) = \frac{b-bx}{2x-a}$

$f^{-1}(1)=-2$ より、

$f^{-1}(1) = \frac{b-b}{2-a} = -2$

$\frac{0}{2-a} = -2$

ここで、$f^{-1}(x) = \frac{-bx+b}{2x-a}$ であり、$f^{-1}(1) = -2$なので

$f^{-1}(1) = \frac{-b+b}{2-a} = -2$

これは成り立たないので、 $f^{-1}(x)$ の計算を見直します。

$y = \frac{ax+b}{2x+b}$

$2xy + by = ax + b$

$2xy - ax = b - by$

$x(2y - a) = b - by$

$x = \frac{b - by}{2y - a}$

$x = \frac{-by + b}{2y - a}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{-bx + b}{2x - a}$

$f^{-1}(1) = \frac{-b(1) + b}{2(1) - a} = -2$

$\frac{-b + b}{2 - a} = -2$

$\frac{b-bx}{2x-a}$ に $x=1$ を代入したとき

$f^{-1}(1) = \frac{-b \cdot 1 + b}{2 \cdot 1 - a} = \frac{-b+b}{2-a}$

$f^{-1}(1) = \frac{b - b}{2 - a} = -2$

上記では$b=0$と考えることができないので、$f^{-1}(1) = -2$を$f(-2)=1$に変換して考えます。

$f(-2) = \frac{-2a + b}{-4 + b} = 1$

$-2a + b = -4 + b$

$-2a = -4$

$a = 2$ (2)

(1)より $a - 4b = 18$なので、(2)の$a = 2$を代入すると

$2 - 4b = 18$

$-4b = 16$

$b = -4$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -4$