数列 $\{c_n\}$ が与えられ、それを群に分ける規則が与えられています。 (1) 第5群の2番目の項を求め、$\frac{5}{12}$ が初めて現れるのが第何群の何番目か、数列全体の何番目かを求めます。 (2) 第$m$群に含まれるすべての項の和 $S_m$ を $m$ の式で表します。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ が与えられ、それを群に分ける規則が与えられています。

(1) 第5群の2番目の項を求め、$\frac{5}{12}$ が初めて現れるのが第何群の何番目か、数列全体の何番目かを求めます。

(2) 第$m$群に含まれるすべての項の和 $S_m$ を $m$ の式で表します。

2. 解き方の手順

(1) 第$m$群の$k$番目の項は $\frac{2k-1}{2m}$ で表されます。

第5群の2番目の項は、$m=5$, $k=2$ を代入して

$\frac{2(2)-1}{2(5)} = \frac{3}{10}$

よって、コ = 3, サシ = 10

$\frac{2k-1}{2m} = \frac{5}{12}$ を満たす $m, k$ を探します。

$12(2k-1) = 10m$

$6(2k-1) = 5m$

左辺は奇数と偶数の積なので偶数であり、右辺は5の倍数です。

$2k-1$ は奇数なので、 $2k-1 = 5, 15, 25, \dots$ の場合を考えます。

$2k-1=5$ のとき $k=3$, $m=6$

$2k-1=15$ のとき $k=8$, $m=18$

$2k-1=25$ のとき $k=13$, $m=30$

$m \ge k$ である必要があるので、$k=3$, $m=6$ のみが適します。

したがって、第6群の3番目です。

第1群から第5群までの項の数は $1+2+3+4+5=15$ なので、第6群の3番目の項は数列 $\{c_n\}$ の第 $15+3=18$ 番目です。

よって、ス = 6, セ = 3, ソタ = 18

(2) 第$m$群の項は $\frac{2k-1}{2m}$ ($k=1, 2, \dots, m$) なので、その和 $S_m$ は

$S_m = \sum_{k=1}^m \frac{2k-1}{2m} = \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^m (2k-1) = \frac{1}{2m} \cdot m^2 = \frac{m}{2}$

$\sum_{k=1}^m (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^m k - \sum_{k=1}^m 1 = 2 \cdot \frac{m(m+1)}{2} - m = m^2+m-m = m^2$

よって、チ = $\frac{m}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 第5群の2番目の項は $\frac{3}{10}$

値が $\frac{5}{12}$ である項が初めて現れるのは、第6群の3番目であり、数列 $\{c_n\}$ の第18項である。

(2) $S_m = \frac{m}{2}$