## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた複素数 $\alpha$ と $\beta$ に対して、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

問題は2つあります。

(1) $\alpha = \cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi$, $\beta = \cos\frac{5}{12}\pi + i\sin\frac{5}{12}\pi$

(2) $\alpha = 2(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$, $\beta = 4(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

## 解き方の手順

複素数の極形式における積と商の公式を利用する。

$\alpha = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $\beta = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき、

$\alpha\beta = r_1 r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2))$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))$

偏角 $\theta_1 + \theta_2$ または $\theta_1 - \theta_2$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲外にある場合は、 $2\pi$ の整数倍を足し引きして、この範囲内に収める。

**(1)**

$\alpha = \cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi$, $\beta = \cos\frac{5}{12}\pi + i\sin\frac{5}{12}\pi$

$\alpha\beta = 1 \cdot 1 \left( \cos\left(\frac{7}{12}\pi + \frac{5}{12}\pi\right) + i\sin\left(\frac{7}{12}\pi + \frac{5}{12}\pi\right) \right)$

$= \cos\pi + i\sin\pi$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{1} \left( \cos\left(\frac{7}{12}\pi - \frac{5}{12}\pi\right) + i\sin\left(\frac{7}{12}\pi - \frac{5}{12}\pi\right) \right)$

$= \cos\frac{1}{6}\pi + i\sin\frac{1}{6}\pi = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$

**(2)**

$\alpha = 2(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)$, $\beta = 4(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

$\alpha\beta = 2 \cdot 4 \left( \cos\left(\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{6}\right) \right)$

$= 8\left( \cos\frac{5}{6}\pi + i\sin\frac{5}{6}\pi \right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{4} \left( \cos\left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right) \right)$

$= \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} \right)$

## 最終的な答え

**(1)**

$\alpha\beta = \cos\pi + i\sin\pi$

$\frac{\alpha}{\beta} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$

**(2)**

$\alpha\beta = 8\left( \cos\frac{5}{6}\pi + i\sin\frac{5}{6}\pi \right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} \right)$