複素数$\alpha$と$\beta$が与えられたとき、$\alpha \beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。 (1) $\alpha = -4 + 4i$, $\beta = -1 + \sqrt{3}i$ (2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i$, $\beta = 1 + i$

1. 問題の内容

複素数$\alpha$と$\beta$が与えられたとき、$\alpha \beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。

(1) $\alpha = -4 + 4i$, $\beta = -1 + \sqrt{3}i$

(2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i$, $\beta = 1 + i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ で表すには、まず絶対値 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ を求め、次に偏角 $\theta$ を求めます。

(1) $\alpha = -4 + 4i$, $\beta = -1 + \sqrt{3}i$ の場合：

$\alpha$について：

$r_{\alpha} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\tan \theta_{\alpha} = \frac{4}{-4} = -1$

$-4 + 4i$ は第2象限にあるので、$\theta_{\alpha} = \frac{3}{4}\pi$

したがって、$\alpha = 4\sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi + i \sin \frac{3}{4}\pi)$

$\beta$について：

$r_{\beta} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\tan \theta_{\beta} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$

$-1 + \sqrt{3}i$ は第2象限にあるので、$\theta_{\beta} = \frac{2}{3}\pi$

したがって、$\beta = 2(\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi)$

$\alpha \beta$について：

$r_{\alpha \beta} = r_{\alpha} r_{\beta} = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2}$

$\theta_{\alpha \beta} = \theta_{\alpha} + \theta_{\beta} = \frac{3}{4}\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{9}{12}\pi + \frac{8}{12}\pi = \frac{17}{12}\pi$

したがって、$\alpha \beta = 8\sqrt{2}(\cos \frac{17}{12}\pi + i \sin \frac{17}{12}\pi)$

$\frac{\alpha}{\beta}$について：

$r_{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{r_{\alpha}}{r_{\beta}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$\theta_{\frac{\alpha}{\beta}} = \theta_{\alpha} - \theta_{\beta} = \frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{9}{12}\pi - \frac{8}{12}\pi = \frac{1}{12}\pi$

したがって、$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}(\cos \frac{1}{12}\pi + i \sin \frac{1}{12}\pi)$

(2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i$, $\beta = 1 + i$ の場合：

$\alpha$について：

$r_{\alpha} = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\tan \theta_{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\sqrt{6} + \sqrt{2}i$ は第2象限にあるので、$\theta_{\alpha} = \frac{5}{6}\pi$

したがって、$\alpha = 2\sqrt{2}(\cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi)$

$\beta$について：

$r_{\beta} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\tan \theta_{\beta} = \frac{1}{1} = 1$

$1 + i$ は第1象限にあるので、$\theta_{\beta} = \frac{1}{4}\pi$

したがって、$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{1}{4}\pi + i \sin \frac{1}{4}\pi)$

$\alpha \beta$について：

$r_{\alpha \beta} = r_{\alpha} r_{\beta} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$

$\theta_{\alpha \beta} = \theta_{\alpha} + \theta_{\beta} = \frac{5}{6}\pi + \frac{1}{4}\pi = \frac{10}{12}\pi + \frac{3}{12}\pi = \frac{13}{12}\pi$

したがって、$\alpha \beta = 4(\cos \frac{13}{12}\pi + i \sin \frac{13}{12}\pi)$

$\frac{\alpha}{\beta}$について：

$r_{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{r_{\alpha}}{r_{\beta}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$

$\theta_{\frac{\alpha}{\beta}} = \theta_{\alpha} - \theta_{\beta} = \frac{5}{6}\pi - \frac{1}{4}\pi = \frac{10}{12}\pi - \frac{3}{12}\pi = \frac{7}{12}\pi$

したがって、$\frac{\alpha}{\beta} = 2(\cos \frac{7}{12}\pi + i \sin \frac{7}{12}\pi)$

3. 最終的な答え

(1)

$\alpha \beta = 8\sqrt{2}(\cos \frac{17}{12}\pi + i \sin \frac{17}{12}\pi)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}(\cos \frac{1}{12}\pi + i \sin \frac{1}{12}\pi)$

(2)

$\alpha \beta = 4(\cos \frac{13}{12}\pi + i \sin \frac{13}{12}\pi)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2(\cos \frac{7}{12}\pi + i \sin \frac{7}{12}\pi)$