複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $|\alpha^4|$ (2) $|\alpha\beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $|\alpha^4|$

(2) $|\alpha\beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha^4|$ について

複素数 $z$ に対して、$|z^n| = |z|^n$ が成り立つことを利用します。

まず、$|\alpha|$ を計算します。

$|\alpha| = |1 + 2\sqrt{2}i| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

よって、

$|\alpha^4| = |\alpha|^4 = 3^4 = 81$

(2) $|\alpha\beta^2|$ について

複素数 $z_1$, $z_2$ に対して、$|z_1z_2| = |z_1||z_2|$ が成り立つことを利用します。

$|\alpha\beta^2| = |\alpha||\beta^2| = |\alpha||\beta|^2$

$|\beta| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

よって、

$|\alpha\beta^2| = |\alpha||\beta|^2 = 3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$ について

複素数 $z_1$, $z_2$ に対して、$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ が成り立つことを利用します。

$|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{|1|}{|\alpha\beta|} = \frac{1}{|\alpha||\beta|} = \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$ について

$|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha^4| = 81$

(2) $|\alpha\beta^2| = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{25}{27}$