複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題です。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。 (1) $\alpha = -4 + 4i, \beta = -1 + \sqrt{3}i$ (2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i, \beta = 1+i$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題です。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

(1) $\alpha = -4 + 4i, \beta = -1 + \sqrt{3}i$

(2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i, \beta = 1+i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式で表すには、まず絶対値 $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。次に、偏角 $\theta$ を求めます。$\cos \theta = \frac{a}{r}$ および $\sin \theta = \frac{b}{r}$ を満たす $\theta$ を求めます。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

極形式は $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ と表されます。

(1) $\alpha = -4 + 4i, \beta = -1 + \sqrt{3}i$

$\alpha$ の絶対値は $|\alpha| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\alpha$ の偏角 $\theta_\alpha$ は、$\cos \theta_\alpha = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin \theta_\alpha = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta_\alpha = \frac{3\pi}{4}$

よって、$\alpha = 4\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$

$\beta$ の絶対値は $|\beta| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\beta$ の偏角 $\theta_\beta$ は、$\cos \theta_\beta = \frac{-1}{2}$ かつ $\sin \theta_\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta_\beta = \frac{2\pi}{3}$

よって、$\beta = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$

$\alpha\beta = |\alpha||\beta| \left(\cos (\theta_\alpha + \theta_\beta) + i \sin (\theta_\alpha + \theta_\beta)\right)$

$= 4\sqrt{2} \cdot 2 \left(\cos \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right)\right)$

$= 8\sqrt{2} \left(\cos \frac{17\pi}{12} + i \sin \frac{17\pi}{12}\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{|\alpha|}{|\beta|} \left(\cos (\theta_\alpha - \theta_\beta) + i \sin (\theta_\alpha - \theta_\beta)\right)$

$= \frac{4\sqrt{2}}{2} \left(\cos \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}\right)\right)$

$= 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}\right)$

(2) $\alpha = -\sqrt{6} + \sqrt{2}i, \beta = 1+i$

$\alpha$ の絶対値は $|\alpha| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6+2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\alpha$ の偏角 $\theta_\alpha$ は、$\cos \theta_\alpha = \frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \theta_\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ を満たすので、$\theta_\alpha = \frac{5\pi}{6}$

よって、$\alpha = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right)$

$\beta$ の絶対値は $|\beta| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$\beta$ の偏角 $\theta_\beta$ は、$\cos \theta_\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin \theta_\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta_\beta = \frac{\pi}{4}$

よって、$\beta = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

$\alpha\beta = |\alpha||\beta| \left(\cos (\theta_\alpha + \theta_\beta) + i \sin (\theta_\alpha + \theta_\beta)\right)$

$= 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$= 4 \left(\cos \frac{13\pi}{12} + i \sin \frac{13\pi}{12}\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{|\alpha|}{|\beta|} \left(\cos (\theta_\alpha - \theta_\beta) + i \sin (\theta_\alpha - \theta_\beta)\right)$

$= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left(\cos \left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$= 2 \left(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12}\right)$

3. 最終的な答え

(1)

$\alpha\beta = 8\sqrt{2} \left(\cos \frac{17\pi}{12} + i \sin \frac{17\pi}{12}\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}\right)$

(2)

$\alpha\beta = 4 \left(\cos \frac{13\pi}{12} + i \sin \frac{13\pi}{12}\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2 \left(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12}\right)$