複素数平面において、点 $z$ をどのように回転させれば、与えられた点になるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。 (1) $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$ (2) $\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z$

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ をどのように回転させれば、与えられた点になるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。

(1) $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$

(2) $\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z$

2. 解き方の手順

複素数平面における回転は、複素数の積で表されます。複素数 $z$ を $\theta$ 回転させることは、$e^{i\theta}z = (\cos \theta + i\sin \theta)z$ を計算することに対応します。与えられた複素数の積の形から、$\cos \theta + i\sin \theta$ の形を読み取り、$\theta$ を求めます。

(1) $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos \theta + i\sin \theta$ となる $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{5}{6}\pi$ です。

したがって、$z$ を$\frac{5}{6}\pi$回転させた点が、$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$ です。

(2) $\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z$

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \theta + i\sin \theta$ となる $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$z$ を$-\frac{\pi}{3}$回転させた点が、$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)z$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6}\pi$ 回転

(2) $-\frac{\pi}{3}$ 回転