$y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域は $0 \le x \le a$ で、$a$ は正の定数) という関数について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフの軸を求める。 (2) 定義域における最小値を$a$ の範囲によって求める。 (3) 定義域における最大値を$a$ の範囲によって求める。

1. 問題の内容

$y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域は $0 \le x \le a$ で、$a$ は正の定数) という関数について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフの軸を求める。

(2) 定義域における最小値を$a$ の範囲によって求める。

(3) 定義域における最大値を$a$ の範囲によって求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 8x + 3$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 4x) + 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 3$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$

$y = 2(x - 2)^2 - 5$

よって、軸は $x = 2$ である。

(2) $y = 2(x - 2)^2 - 5$ より、頂点は $(2, -5)$ であり、下に凸の放物線である。

(i) $0 < a < 2$ のとき、定義域は $0 \le x \le a$ なので、最小値は $x = a$ のときにとる。

$y = 2(a - 2)^2 - 5 = 2(a^2 - 4a + 4) - 5 = 2a^2 - 8a + 8 - 5 = 2a^2 - 8a + 3$

(ii) $2 \le a$ のとき、定義域は $0 \le x \le a$ なので、最小値は $x = 2$ のときにとる。

$y = 2(2 - 2)^2 - 5 = -5$

(3) $y = 2(x - 2)^2 - 5$ より、軸は $x = 2$。定義域は $0 \le x \le a$

(i) $0 < a < 4$ のとき、最大値は $x = 0$ のときにとる。

$y = 2(0 - 2)^2 - 5 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

(ii) $a = 4$ のとき、最大値は $x = 0$ のときと $x = 4$ のときにとる。

$x = 4$ のとき $y = 2(4 - 2)^2 - 5 = 2(4) - 5 = 3$

(iii) $4 < a$ のとき、最大値は $x = a$ のときにとる。

$y = 2(a - 2)^2 - 5 = 2(a^2 - 4a + 4) - 5 = 2a^2 - 8a + 8 - 5 = 2a^2 - 8a + 3$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) (i) $x = a$ 、$2a^2 - 8a + 3$

　 (ii) $x = 2$ 、$-5$

(3) (i) $x = 0$ 、$3$

　 (ii) $x = 0, 4$ 、$3$

(iii) $x = a$ 、$2a^2 - 8a + 3$