与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、次の6つの式を因数分解します。 (1) $x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ (2) $x^3 - 7x$ (3) $x^3 - x^2 - 16x - 20$ (4) $x^3 - 4x$ (5) $2x^3 + 7x^2 - 14x + 5$ (6) $3x^3 - ...$ （式が途中で切れています） ここでは、(1), (2), (3), (4), (5)を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、次の6つの式を因数分解します。

(1) $x^3 + 5x^2 + 2x - 8$

(2) $x^3 - 7x$

(3) $x^3 - x^2 - 16x - 20$

(4) $x^3 - 4x$

(5) $2x^3 + 7x^2 - 14x + 5$

(6) $3x^3 - ...$ （式が途中で切れています）

ここでは、(1), (2), (3), (4), (5)を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ の因数分解

まず、整数解を探します。$x = 1$ を代入すると $1 + 5 + 2 - 8 = 0$ なので、$x - 1$ を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

$x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x - 1)(x^2 + 6x + 8)$

さらに、$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$ と因数分解できるので、

$x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x - 1)(x + 2)(x + 4)$

(2) $x^3 - 7x$ の因数分解

$x$ でくくり出すと、

$x^3 - 7x = x(x^2 - 7)$

$x^2 - 7$ は $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$と因数分解できますが、通常は有理数の範囲で因数分解するので、

$x^3 - 7x = x(x^2 - 7)$

(3) $x^3 - x^2 - 16x - 20$ の因数分解

まず、整数解を探します。$x = -2$ を代入すると $-8 - 4 + 32 - 20 = 0$ なので、$x + 2$ を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

$x^3 - x^2 - 16x - 20 = (x + 2)(x^2 - 3x - 10)$

さらに、$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$ と因数分解できるので、

$x^3 - x^2 - 16x - 20 = (x + 2)(x - 5)(x + 2) = (x + 2)^2(x - 5)$

(4) $x^3 - 4x$ の因数分解

$x$ でくくり出すと、

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$

$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できるので、

$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$

(5) $2x^3 + 7x^2 - 14x + 5$ の因数分解

まず、整数解を探します。$x = 1$ を代入すると $2 + 7 - 14 + 5 = 0$ なので、$x - 1$ を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

$2x^3 + 7x^2 - 14x + 5 = (x - 1)(2x^2 + 9x - 5)$

さらに、$2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5)$ と因数分解できるので、

$2x^3 + 7x^2 - 14x + 5 = (x - 1)(2x - 1)(x + 5)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + 2)(x + 4)$

(2) $x(x^2 - 7)$

(3) $(x + 2)^2(x - 5)$

(4) $x(x - 2)(x + 2)$

(5) $(x - 1)(2x - 1)(x + 5)$