次の複素数の絶対値を求めよ。 (1) $-3 + 4i$ (2) $\sqrt{2} + \sqrt{6}i$ (3) $(3 - i)^2$

1. 問題の内容

次の複素数の絶対値を求めよ。

(1) $-3 + 4i$

(2) $\sqrt{2} + \sqrt{6}i$

(3) $(3 - i)^2$

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $z = a + bi$ の絶対値は、$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で求められます。

したがって、$|-3 + 4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ となります。

(2) 同様に、 $|\sqrt{2} + \sqrt{6}i| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となります。

(3) まず、$(3 - i)^2$ を展開します。

$(3 - i)^2 = 3^2 - 2(3)(i) + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

したがって、$|(3 - i)^2| = |8 - 6i| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) $2\sqrt{2}$

(3) 10