二次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 異なる2つの実数解を持つときの $m$ の範囲を求めます。 (2) 3より大きい解と3より小さい解を持つときの $m$ の範囲を求めます。 (3) 異なる2つの3より大きい解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 異なる2つの実数解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

(2) 3より大きい解と3より小さい解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

(3) 異なる2つの3より大きい解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (-m)^2 - 4(2m+5) = m^2 - 8m - 20 > 0$

$(m - 10)(m + 2) > 0$

よって、$m < -2$ または $10 < m$

(2) $f(x) = x^2 - mx + 2m + 5$ とおきます。3より大きい解と3より小さい解を持つ条件は、$f(3) < 0$ です。

$f(3) = 3^2 - 3m + 2m + 5 = 14 - m < 0$

よって、$m > 14$

(3) 異なる2つの3より大きい解を持つ条件は、以下の3つを満たすことです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = \frac{m}{2} > 3$

(iii) $f(3) > 0$

(i) は (1) より $m < -2$ または $10 < m$

(ii) より $m > 6$

(iii) より $m < 14$

したがって、$10 < m < 14$

3. 最終的な答え

(1) $m < -2$, $10 < m$

(2) $m > 14$

(3) $10 < m < 14$