与えられた分数式の計算をせよ。 $$\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x-1} - \frac{x^2+3}{x^2-1}$$

1. 問題の内容

与えられた分数式の計算をせよ。

$$\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x-1} - \frac{x^2+3}{x^2-1}$$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ となります。

次に、各分数の分母を $(x+1)(x-1)$ に揃えます。

$$\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2}{(x+1)(x-1)}$$

$$\frac{2x}{x-1} = \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2+2x}{(x+1)(x-1)}$$

$$\frac{x^2+3}{x^2-1} = \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)}$$

分母が揃ったので、分子を計算します。

$$\frac{2x-2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x^2+2x}{(x+1)(x-1)} - \frac{x^2+3}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2+2x^2+2x-(x^2+3)}{(x+1)(x-1)}$$

$$= \frac{2x-2+2x^2+2x-x^2-3}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+4x-5}{(x+1)(x-1)}$$

分子を因数分解します。$x^2+4x-5 = (x+5)(x-1)$ となります。

$$\frac{(x+5)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+5}{x+1}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{x+5}{x+1}$$