三角形ABCにおいて、$AD=DB$, $AE=EC$, $DF:FG = 5:6$のとき、$BG=15cm$である。$BF$の長さxを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AD=DB$, $AE=EC$, $DF:FG = 5:6$のとき、$BG=15cm$である。$BF$の長さxを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$DE$は$\triangle ABC$の中点連結定理より$BC$と平行です。

$DE \parallel BC$なので、$\triangle DEF$と$\triangle CGF$は相似です。

$DF:FG = 5:6$なので、

$DE:BC = DF:GC = 5:6$

$DE$は$BC$の半分なので、$DE = \frac{1}{2}BC$。したがって、$DE = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$ 。

しかし、$DE:BC=5:6$とはならず矛盾が生じる。

問題文に誤りがあるか、図が正確ではない可能性がある。

ここでは、$DF:FG = 5:6$と$DE \parallel BC$を使って解きます。

$DE \parallel BC$なので、$\triangle DEF \sim \triangle GBF$ではない。

三角形DGFとCGFは相似ではない。

$DE \parallel BC$より、$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

錯角が等しいので、$\triangle DFE \sim \triangle CBG$ではない。

$DE || BC$ より、$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

$AD = DB$より、$AD:AB=1:2$。$AE=EC$より、$AE:AC=1:2$。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$であり、相似比は$1:2$となる。

$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{15}{2}=7.5$

$DF:FG=5:6$なので、$DG = DF+FG = 5+6=11$

$BF:DE=BG:FG$ではない。

$DE:BC = DG:DC$より、$\frac{15}{2} : 15 = DG:DC$

$DF:FG = 5:6$だから、$BF:x+15=DG/2 :DC$

$DF:DG=5:11$だから、$FG:DG=6:11$

$\triangle DFE \sim \triangle BGF$という仮定は間違い。

$DE \parallel BC$より、$AD/AB=AE/AC=DE/BC=\frac{1}{2}$

$BC=15$であるから、$DE=7.5$

$\triangle DEF \sim \triangle CGF$より、$DF/FG = 5/6$、$DF/GC = x$

チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{15}{GC} \cdot \frac{1}{1} = 1$

$GC = 15$

$\frac{DF}{FG} = \frac{DE}{GC}$

$\frac{5}{6} = \frac{DE}{15}$

$DE = \frac{5}{6} \times 15 = \frac{25}{2} = 12.5$

矛盾が起こる。問題に誤植がある。

$DF:FG = 5:6$, $BG=15$より、$BF = x$とする。

$DE \parallel BC$より、$AD = DB, AE = EC$なので、中点連結定理より$DE = \frac{1}{2}BC = 7.5$.

$\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$ではない。

$\frac{BF}{BG}$は計算できない。

$DF:FG = 5:6$だから、$DF = 5k$, $FG=6k$と置ける。

$\triangle DEF$と$\triangle CBG$が相似ではない。

3. 最終的な答え

問題文に矛盾があるため、解答不能。