以下の3つの式の2重根号を外して簡単にしてください。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。与えられた3つの問題について、2重根号を外して簡単にします。

1. 問題の内容

以下の3つの式の2重根号を外して簡単にしてください。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$を利用します。

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に当てはめると、$a+b = 7$、$ab = 10$となる$a$と$b$を見つけます。

$a=5$、$b=2$とすると、$5+2 = 7$、$5 \times 2 = 10$を満たします。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\times2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ と変形します。

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$を利用します。

$12-2\sqrt{27}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形に当てはめると、$a+b = 12$、$ab = 27$となる$a$と$b$を見つけます。

$a=9$、$b=3$とすると、$9+3 = 12$、$9 \times 3 = 27$を満たします。

したがって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\times3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$と変形します。

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$を利用します。

$4-2\sqrt{3}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形に当てはめると、$a+b = 4$、$ab = 3$となる$a$と$b$を見つけます。

$a=3$、$b=1$とすると、$3+1 = 4$、$3 \times 1 = 3$を満たします。

したがって、

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3+1-2\sqrt{3\times1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$