与えられた数式を計算、または分母を有理化する問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。 (1) $2\sqrt{27}-3\sqrt{12}+\sqrt{54}$ (2) $(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$ (3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$ (4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (5) $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$ (6) $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$

はい、承知いたしました。問題文に示された計算問題と、分母の有理化の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算、または分母を有理化する問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。

(1) $2\sqrt{27}-3\sqrt{12}+\sqrt{54}$

(2) $(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$

(3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$

(4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(5) $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$

(6) $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解いていきます。

(1)

各項のルートの中身を素因数分解し、ルートの外に出せるものは出す。その後、同類項をまとめる。

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^3} = 2\cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$3\sqrt{12} = 3\sqrt{2^2\cdot 3} = 3\cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{2\cdot 3^3} = 3\sqrt{6}$

よって、$6\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2)

展開公式 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ を用いて展開し、整理する。

$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{2\cdot 3^2} = 9 + 2\cdot 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}$

(3)

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{8}$ を掛ける。$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$なので、分母を有理化するために分母分子に$\sqrt{2}$をかけることもできる。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(4)

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を掛ける。

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\cdot 3 + 3\sqrt{6} + 2}{3-2} = \frac{6+3\sqrt{6}+2}{1} = 8+3\sqrt{6}$

(5)

分母を有理化するために、分母と分子に $1+\sqrt{3}$ を掛ける。

$\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{1-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

(6)

分母を有理化するために、分母と分子に $1-\sqrt{3}$ を掛ける。

$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{(3+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3-3\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{\sqrt{6}(1-3)} = \frac{-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9+6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(4) $8+3\sqrt{6}$

(5) $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{2}$