与えられた数学の問題は、いくつかの種類に分かれています。 - 問題50：根号の中を簡単にする問題です。具体的には、$\sqrt{18}$と$\sqrt{20}$を$k\sqrt{a}$の形に変形します。 - 問題51：根号を含む式の計算問題です。具体的には、 $5\sqrt{2} - \sqrt{2}$、 $4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$、 $(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - (\sqrt{48} - \sqrt{45})$ を計算します。 - 問題52：根号を含む乗算の計算問題です。具体的には、 $3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5}$、 $\sqrt{27} \times \sqrt{12}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、いくつかの種類に分かれています。

- 問題50：根号の中を簡単にする問題です。具体的には、$\sqrt{18}$と$\sqrt{20}$を$k\sqrt{a}$の形に変形します。

- 問題51：根号を含む式の計算問題です。具体的には、

$5\sqrt{2} - \sqrt{2}$、

$4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$、

$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - (\sqrt{48} - \sqrt{45})$

を計算します。

- 問題52：根号を含む乗算の計算問題です。具体的には、

$3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5}$、

$\sqrt{27} \times \sqrt{12}$

を計算します。

2. 解き方の手順

問題50

(1) $\sqrt{18}$

18を素因数分解すると、$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$となります。したがって、$\sqrt{18} = \sqrt{2 \times 3^2} = 3\sqrt{2}$となります。

(2) $\sqrt{20}$

20を素因数分解すると、$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$となります。したがって、$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$となります。

問題51

(1) $5\sqrt{2} - \sqrt{2}$

$\sqrt{2}$を共通因数としてくくり出すと、$5\sqrt{2} - \sqrt{2} = (5-1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$となります。

(2) $4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$を共通因数としてくくり出すと、$4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (4-7+2)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$となります。

(6) $(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - (\sqrt{48} - \sqrt{45})$

$\sqrt{48}$を簡単にする: $48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3$なので、$\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3}$。

$\sqrt{45}$を簡単にする: $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$なので、$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt{5}$。

したがって、$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - (\sqrt{48} - \sqrt{45}) = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - (4\sqrt{3} - 3\sqrt{5}) = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = (3-4)\sqrt{3} + (-2+3)\sqrt{5} = -\sqrt{3} + \sqrt{5}$となります。

問題52

(1) $3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5}$

係数同士、根号同士をそれぞれ掛けると、$3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5} = (3 \times 2)(\sqrt{2} \times \sqrt{5}) = 6\sqrt{2 \times 5} = 6\sqrt{10}$となります。

(2) $\sqrt{27} \times \sqrt{12}$

$\sqrt{27}$を簡単にする: $27 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3$なので、$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}$。

$\sqrt{12}$を簡単にする: $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$なので、$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$。

したがって、$\sqrt{27} \times \sqrt{12} = (3\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3}) = (3 \times 2)(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 6 \times 3 = 18$となります。

3. 最終的な答え

問題50

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{5}$

問題51

(1) $4\sqrt{2}$

(2) $-\sqrt{3}$

(6) $-\sqrt{3} + \sqrt{5}$

問題52

(1) $6\sqrt{10}$

(2) $18$