(1) 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点P, Qがあり、それぞれのx座標は-4, 2である。座標軸の1目盛りを1cmとするとき、三角形OPQの面積を求める問題。 (2) 当たりくじ2本、はずれくじ2本が入っているくじをA, B, Cの順に1本ずつ引く。Cだけが当たる確率を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点P, Qがあり、それぞれのx座標は-4, 2である。座標軸の1目盛りを1cmとするとき、三角形OPQの面積を求める問題。

(2) 当たりくじ2本、はずれくじ2本が入っているくじをA, B, Cの順に1本ずつ引く。Cだけが当たる確率を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標は(-4, 8)、点Qの座標は(2, 2)となる。

直線PQの方程式を $y = ax + b$ とおく。

P, Qの座標を代入すると、

$8 = -4a + b$

$2 = 2a + b$

これを解くと、$a = -1$, $b = 4$

したがって、直線PQの方程式は、$y = -x + 4$ となる。

三角形OPQの面積は、線分PQを底辺とみたとき、原点Oから直線PQまでの距離を高さとすることで求められる。

線分PQの長さは、$\sqrt{(-4-2)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

原点と直線 $x + y - 4 = 0$ の距離は、$\frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

したがって、三角形OPQの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 12$

別の解き方としては、座標を利用して面積を計算できる。三角形OPQの面積は、

$\frac{1}{2} |(-4) \cdot 2 - 8 \cdot 2| + \frac{1}{2} |2 \cdot 0 - 2 \cdot 0| + \frac{1}{2} |0 \cdot 8 - (-4) \cdot 0| = \frac{1}{2} |-8 - 16| = \frac{1}{2} |-24| = 12$

(2)

Cが当たるのは、Aが外れ、Bが外れ、Cが当たる場合のみである。

Aが外れる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Aが外れたとき、残りのくじは当たり2本、外れ1本。Bが外れる確率は $\frac{1}{3}$

Aが外れ、Bが外れたとき、残りのくじは当たり2本。Cが当たる確率は $\frac{2}{2} = 1$

したがって、Cだけが当たる確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 12 cm²

(2) 1/6