電車が警笛を鳴らしながら近づいてくるときに踏切のそばで音を聞いたところ、近づくときは振動数918Hz、遠ざかるときは振動数816Hzであった。電車の速さ$v$ [m/s] と、警笛の音の振動数$f_0$ [Hz]を求めよ。音の速さを340m/sとする。

1. 問題の内容

電車が警笛を鳴らしながら近づいてくるときに踏切のそばで音を聞いたところ、近づくときは振動数918Hz、遠ざかるときは振動数816Hzであった。電車の速さ$v$ [m/s] と、警笛の音の振動数$f_0$ [Hz]を求めよ。音の速さを340m/sとする。

2. 解き方の手順

ドップラー効果の公式を用いる。音源が近づく場合と遠ざかる場合で、観測者が観測する振動数が異なる。

音の速さを$V$、音源の速度を$v$、音源の振動数を$f_0$とすると、観測者が観測する振動数$f$は、音源が近づくときは、

$f = \frac{V}{V - v} f_0$

音源が遠ざかるときは、

$f = \frac{V}{V + v} f_0$

となる。

この問題では、$V = 340$m/s、近づくときの振動数は$f_1 = 918$Hz、遠ざかるときの振動数は$f_2 = 816$Hzである。よって、

$918 = \frac{340}{340 - v} f_0$

$816 = \frac{340}{340 + v} f_0$

この２式から$f_0$と$v$を求める。

まず、$f_0$を消去するために、２つの式を割る。

$\frac{918}{816} = \frac{\frac{340}{340 - v}}{\frac{340}{340 + v}} = \frac{340 + v}{340 - v}$

$918(340 - v) = 816(340 + v)$

$312120 - 918v = 277440 + 816v$

$34680 = 1734v$

$v = \frac{34680}{1734} = 20$ m/s

次に、$f_0$を求める。

$918 = \frac{340}{340 - 20} f_0 = \frac{340}{320} f_0 = \frac{17}{16} f_0$

$f_0 = \frac{16}{17} \times 918 = 16 \times 54 = 864$ Hz

3. 最終的な答え

電車の速さ $v = 20$ m/s

警笛の音の振動数 $f_0 = 864$ Hz