水槽中の静かな水面に小球Pを触れさせ水面波を発生させる。小球Pは一定の速さ $v$ [m/s]でx軸正の向きに移動し、水面波は一定の速さ $V$ [m/s]で広がる。図はある時刻における水面波の山の位置を表しており、小球Pは毎秒5.0回水面に触れさせている。 (1) 水面波の伝わる速さ $V$ [m/s] を求める。 (2) 小球Pの移動の速さ $v$ [m/s] を求める。 (3) 図の点Qの位置で観測される水面波の振動数 $f$ [Hz] を求める。

1. 問題の内容

水槽中の静かな水面に小球Pを触れさせ水面波を発生させる。小球Pは一定の速さ $v$ [m/s]でx軸正の向きに移動し、水面波は一定の速さ $V$ [m/s]で広がる。図はある時刻における水面波の山の位置を表しており、小球Pは毎秒5.0回水面に触れさせている。

(1) 水面波の伝わる速さ $V$ [m/s] を求める。

(2) 小球Pの移動の速さ $v$ [m/s] を求める。

(3) 図の点Qの位置で観測される水面波の振動数 $f$ [Hz] を求める。

2. 解き方の手順

(1) 水面波の速さ$V$を求める。図から、小球Pが最初に触れた点から最も遠い波面までの距離は$40$ cm $= 0.4$ mである。この波面は5回振動しているので、時間$t=1$ sで$0.4$ m進む。よって、$V=0.4$ m/s。

(2) 小球Pの移動の速さ$v$を求める。図から、小球Pが最後に触れた点から、最初に触れた点までの距離を読み取る。小球は5回振動するので、5つの波面が発生している。したがって、最後の波面は小球Pの位置にある。

小球Pの位置はx = 0 cm。最後の波面はx = 0 cm。

一番外側の波面はx = 40 cm。

2番目の波面はx = 40 - 8 cm = 32 cm

3番目の波面はx = 40 - 16 cm = 24 cm

4番目の波面はx = 40 - 24 cm = 16 cm

5番目の波面はx = 40 - 32 cm = 8 cm

したがって、$\Delta x = 40-8 = 32 cm = 0.32 m$

$v = \Delta x / t = 0.32 m / 1 s = 0.32 m/s$

(3) 点Qで観測される水面波の振動数$f$を求める。

ドップラー効果の式を用いる。

$f' = \frac{V}{V-v_s}f_0$

ここで、$f'$は観測者が観測する振動数、$V$は波の速さ、$v_s$は音源の速さ、$f_0$は音源の振動数である。

問題文より、$V = 0.4 m/s$、$v_s = 0.32 m/s$、$f_0 = 5.0 Hz$である。

$f' = \frac{0.4}{0.4 - 0.32} \times 5 = \frac{0.4}{0.08} \times 5 = 5 \times 5 = 25$ Hz

3. 最終的な答え

(1) $V = 0.4$ m/s

(2) $v = 0.32$ m/s

(3) $f = 25$ Hz