5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を並べて3桁の整数を作る。 (2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を並べて3桁の整数を作る。

(2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

3桁の整数を小さい順に並べることを考えます。

まず、百の位に入る数を小さい順に考えます。百の位が1, 2, 3, 4のそれぞれの場合について、残りの2桁に入る数の組み合わせが何通りあるかを計算します。

百の位が1の場合：

十の位と一の位には0, 2, 3, 4のいずれか2つが入ります。

十の位が0の場合、一の位は2, 3, 4のいずれかで、3通り。

十の位が2の場合、一の位は0, 3, 4のいずれかで、3通り。

十の位が3の場合、一の位は0, 2, 4のいずれかで、3通り。

十の位が4の場合、一の位は0, 2, 3のいずれかで、3通り。

合計で$3 \times 4 = 12$通り。

百の位が2の場合：

十の位と一の位には0, 1, 3, 4のいずれか2つが入ります。同様に12通り。

百の位が3の場合：

十の位と一の位には0, 1, 2, 4のいずれか2つが入ります。同様に12通り。

百の位が4の場合：

十の位と一の位には0, 1, 2, 3のいずれか2つが入ります。同様に12通り。

百の位が1, 2, 3の場合、それぞれ12個ずつあるので、ここまでで$12 \times 3 = 36$個の整数があります。

42番目の数は、百の位が4の整数のうち、6番目に小さい数ということになります。

百の位が4の整数を小さい順に並べます。

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

小さい方から6番目は413です。

3. 最終的な答え

413