与えられた複素数の式を計算します。具体的には、以下の3つの計算を行います。 (1) $(1-\sqrt{3}i)^6$ (2) $(-1+i)^5$ (3) $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})^{-9}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算します。具体的には、以下の3つの計算を行います。

(1) $(1-\sqrt{3}i)^6$

(2) $(-1+i)^5$

(3) $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})^{-9}$

2. 解き方の手順

(1) $(1-\sqrt{3}i)^6$

複素数 $1-\sqrt{3}i$ を極形式で表します。絶対値は $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ です。したがって、$1-\sqrt{3}i = 2(\cos(-\frac{\pi}{3})+i\sin(-\frac{\pi}{3}))$ となります。ド・モアブルの定理より、

$(1-\sqrt{3}i)^6 = [2(\cos(-\frac{\pi}{3})+i\sin(-\frac{\pi}{3}))]^6 = 2^6 (\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi)) = 64(1+0i) = 64$

(2) $(-1+i)^5$

複素数 $-1+i$ を極形式で表します。絶対値は $\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ です。したがって、$-1+i = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4})+i\sin(\frac{3\pi}{4}))$ となります。ド・モアブルの定理より、

$(-1+i)^5 = [\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4})+i\sin(\frac{3\pi}{4}))]^5 = (\sqrt{2})^5 (\cos(\frac{15\pi}{4})+i\sin(\frac{15\pi}{4})) = 4\sqrt{2} (\cos(\frac{7\pi}{4})+i\sin(\frac{7\pi}{4})) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}) = 4-4i$

(3) $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})^{-9}$

複素数 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$ を極形式で表します。絶対値は $\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{2}$ を満たすので、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。したがって、$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})$ となります。ド・モアブルの定理より、

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})^{-9} = [\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})]^{-9} = \cos(-\frac{9\pi}{6})+i\sin(-\frac{9\pi}{6}) = \cos(-\frac{3\pi}{2})+i\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0+i = i$

3. 最終的な答え

(1) 64

(2) $4-4i$

(3) $i$