問題は、次の2つの等式を満たす角度 $\theta$ を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求めるものです。 (1) $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ (2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの等式を満たす角度 $\theta$ を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求めるものです。

(1) $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

(2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ を解きます。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、式を $\sin\theta$ で表します。

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

$-2\sin^2\theta - \sin\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) = 0$

したがって、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ または $\sin\theta = -1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = 30^\circ, 150^\circ$ （$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲）

$\sin\theta = -1$ のとき、$\theta = 270^\circ$ ですが、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲外なので解ではありません。

(2) $|\cos\theta| = \frac{1}{2}$ を解きます。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = 60^\circ$ （$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲）

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = 120^\circ$ （$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲）

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

(2) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$