$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $b = |2\sqrt{2} - 3|$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a+b$ の値を求め、さらに $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めます。 (3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $b = |2\sqrt{2} - 3|$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a+b$ の値を求め、さらに $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めます。

(3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ の分母分子に $\sqrt{2}+1$ をかけます。

$a = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b$ の値を求めます。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$\sqrt{8} > \sqrt{9} = 3$ なので、$2\sqrt{2} - 3 < 0$ です。

したがって、$b = |2\sqrt{2} - 3| = -(2\sqrt{2} - 3) = 3 - 2\sqrt{2}$

$a+b$ を求めます。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ を求めます。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = (a+b) + 2\sqrt{ab}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 6 + 2\cdot 1 = 8$

(3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ を計算します。

与式を整理すると

$\frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{a}+\sqrt{2b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{2a^2}-\sqrt{2ab}-\sqrt{ab}+b) - (a+\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}+\sqrt{2b^2})}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2ab} - \sqrt{2}b}{a-b} = \frac{\sqrt{2}(a-b) - 2\sqrt{ab} - a - \sqrt{2ab} - b}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(a-b) - 3\sqrt{ab} - (a+b)}{a-b}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$a+b = 6$

$\sqrt{ab} = 1$

与式 $= \frac{\sqrt{2}(4\sqrt{2}) - 3(1) - 6}{4\sqrt{2}} = \frac{8 - 3 - 6}{4\sqrt{2}} = \frac{-1}{4\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$

(3) $-\frac{\sqrt{2}}{8}$