この問題は、与えられた条件を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の個数を求める問題です。 (1) $a = 1$ かつ $1 \le a < b < c \le 5$ (2) $1 \le a \le b \le c \le 5$

1. 問題の内容

この問題は、与えられた条件を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の個数を求める問題です。

(1) $a = 1$ かつ $1 \le a < b < c \le 5$

(2) $1 \le a \le b \le c \le 5$

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ かつ $1 \le a < b < c \le 5$ の場合

$a=1$ であるから、$1 < b < c \le 5$ となる $b, c$ を求めることになります。つまり、$2 \le b < c \le 5$ を満たす $b, c$ の組み合わせを数えれば良いです。

$b=2$ のとき、$c$ は $3, 4, 5$ のいずれか ($3$通り)

$b=3$ のとき、$c$ は $4, 5$ のいずれか ($2$通り)

$b=4$ のとき、$c$ は $5$ のみ ($1$通り)

したがって、合計で $3 + 2 + 1 = 6$ 通りです。

(2) $1 \le a \le b \le c \le 5$ の場合

これは重複を許して3つを選ぶ組み合わせの問題と考えることができます。

具体的には、$1, 2, 3, 4, 5$ の5個の数字から重複を許して3個を選ぶ組み合わせの数を求める問題です。

これは、$n$個から重複を許して$r$個を選ぶ組み合わせ ${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$ で計算できます。

この場合、$n=5$, $r=3$ なので、

${}_{5}H_{3} = {}_{5+3-1}C_{3} = {}_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 35通り