$a, b$を定数とし、$x$についての不等式$|ax - b| < 3$を考える。 (1) $a = -3, b = -2$のとき、不等式を満たす整数全体の集合$P$を求める。 (2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、 (i) $b = 1$のとき、不等式を満たす整数の個数を求める。 (ii) 不等式を満たす整数が(i)で求めた個数+1個になるような正の整数$b$のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

$a, b$を定数とし、$x$についての不等式$|ax - b| < 3$を考える。

(1) $a = -3, b = -2$のとき、不等式を満たす整数全体の集合$P$を求める。

(2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、

(i) $b = 1$のとき、不等式を満たす整数の個数を求める。

(ii) 不等式を満たす整数が(i)で求めた個数+1個になるような正の整数$b$のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = -3, b = -2$を不等式に代入すると、$|-3x - (-2)| < 3$より、$|-3x + 2| < 3$。

これは$-3 < -3x + 2 < 3$と同値である。

各辺から2を引くと、$-5 < -3x < 1$。

各辺を$-3$で割ると（不等号の向きが変わる）、$\frac{5}{3} > x > -\frac{1}{3}$。

すなわち$-\frac{1}{3} < x < \frac{5}{3}$。

これを満たす整数$x$は1, 0である。

集合$P$は、$P = \{0, 1\}$。

(2) (i) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = 1$を不等式に代入すると、$|\frac{1}{\sqrt{2}}x - 1| < 3$。

これは$-3 < \frac{1}{\sqrt{2}}x - 1 < 3$と同値である。

各辺に1を加えると、$-2 < \frac{1}{\sqrt{2}}x < 4$。

各辺に$\sqrt{2}$をかけると、$-2\sqrt{2} < x < 4\sqrt{2}$。

$\sqrt{2} \approx 1.414$なので、$-2\sqrt{2} \approx -2.828$、$4\sqrt{2} \approx 5.656$。

これを満たす整数$x$は-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5の8個である。

(2) (ii) (i)より不等式を満たす整数の個数は8個なので、8+1=9個になるような正の整数$b$を求める。

$|\frac{1}{\sqrt{2}}x - b| < 3$は、$-3 < \frac{1}{\sqrt{2}}x - b < 3$と同値である。

各辺に$b$を加えると、$b-3 < \frac{1}{\sqrt{2}}x < b+3$。

各辺に$\sqrt{2}$をかけると、$\sqrt{2}(b-3) < x < \sqrt{2}(b+3)$。

この範囲に含まれる整数が9個であるような正の整数$b$を求める。

$\sqrt{2}(b+3) - \sqrt{2}(b-3) = 6\sqrt{2} \approx 8.484$なので、9個の整数を含む範囲を考える。

整数$n$について、$n - 4 \le x \le n + 4$の範囲には9個の整数が含まれる。

$\sqrt{2}(b-3)$の小数部分を小さく、$\sqrt{2}(b+3)$の小数部分を大きくすればよい。

$x = n - 4$に近い整数を$\sqrt{2}(b-3)$に、$x = n + 4$に近い整数を$\sqrt{2}(b+3)$に持ってくるように$b$を調整する。

範囲の幅が9になるのは、$\sqrt{2}(b+3) - \sqrt{2}(b-3) = 6\sqrt{2} \approx 8.484$。

$b=3$のとき、$\sqrt{2}(3-3) < x < \sqrt{2}(3+3)$より、$0 < x < 6\sqrt{2} \approx 8.484$。

整数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8の8個となる。

$b$を少し大きくすると、整数が9個になる。

$\sqrt{2}(b-3) < x < \sqrt{2}(b+3)$に含まれる整数の個数が9個となる最小の$b$を探す。

$b = 3 + \frac{1}{2\sqrt{2}}$とすると、$\sqrt{2}(b-3) = 0.5$。

$b = 3 + \frac{1}{\sqrt{2}}$とすると、$\sqrt{2}(b-3) = 1$となる。このとき9個の整数を含むためには、$x < 9$より$\sqrt{2}(b+3) > 8$である必要がある。

$b = 4$のとき、$\sqrt{2} < x < 7\sqrt{2}$。$\sqrt{2} \approx 1.414, 7\sqrt{2} \approx 9.898$。

整数は2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の8個。

$b=5$のとき、$2\sqrt{2} < x < 8\sqrt{2}$。$2\sqrt{2} \approx 2.828, 8\sqrt{2} \approx 11.312$。

整数は3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11の9個。

よって、$b = 5$。

3. 最終的な答え

(1) $P = \{0, 1\}$

(2) (i) 8個

(ii) 5