(1) $(x-y)(y-z) = 0$ は $x=y=z$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるかを答える。 (2) $a>4$ は $a \geq 5$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるかを答える。ただし、$a$ は自然数である。

1. 問題の内容

(1) $(x-y)(y-z) = 0$ は $x=y=z$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるかを答える。

(2) $a>4$ は $a \geq 5$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるかを答える。ただし、$a$ は自然数である。

2. 解き方の手順

(1) $(x-y)(y-z) = 0$ ならば $x=y$ または $y=z$ が成り立つ。

$x=y=z$ ならば $(x-y)(y-z) = (x-x)(x-x) = 0 \cdot 0 = 0$ が成り立つ。

$(x-y)(y-z) = 0$ であっても、$x=1, y=1, z=2$ のとき、$x=y$ なので $(x-y)(y-z) = 0$ だが、$x=y=z$ は成り立たない。

したがって、$(x-y)(y-z) = 0$ は $x=y=z$ であるための必要条件ではあるが、十分条件ではない。

(2) $a>4$ は $a \geq 5$ であるための条件を考える。

$a \geq 5$ ならば $a>4$ である。

しかし、$a=4.5$ のとき、$a>4$ だが $a \geq 5$ ではない。ただし、$a$ は自然数なので、$a=5$ のとき、$a>4$ かつ $a \geq 5$ となる。$a=6$ のときも、$a>4$ かつ $a \geq 5$ となる。$a=4$ のとき、$a>4$ は成り立たない。

$a>4$ であれば $a \geq 5$ とは限らない。例えば、$a=4.5$ の場合、$a>4$ を満たすが、$a \geq 5$ は満たさない。しかし、$a$ が自然数であるという条件から、$a>4$ であれば、$a$ は $5, 6, 7, \dots$ のいずれかの値をとる。したがって、$a \geq 5$ である。

$a \geq 5$ ならば、$a$ は $5, 6, 7, \dots$ のいずれかの値をとる。したがって、$a>4$ である。

したがって、$a>4$ は $a \geq 5$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) ウ