関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ （$-1 \leq x \leq 1$）の最大値 $M(a)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ （$-1 \leq x \leq 1$）の最大値 $M(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 3$

$f(x) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3$

$f(x) = -(x - a)^2 + a^2 + 3$

したがって、放物線 $C$ の頂点の座標は $(a, a^2+3)$ となります。

軸の方程式は $x = a$ です。

次に、$x=a$ が定義域 $-1 \leq x \leq 1$ に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $a < -1$ のとき、定義域 $-1 \leq x \leq 1$ で $f(x)$ は単調増加します。よって、$x=1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(1) = -1^2 + 2a(1) + 3 = -1 + 2a + 3 = 2a + 2$

(ii) $-1 \leq a \leq 1$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=a$ が定義域に含まれます。よって、$x=a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = -(a - a)^2 + a^2 + 3 = a^2 + 3$

(iii) $a > 1$ のとき、定義域 $-1 \leq x \leq 1$ で $f(x)$ は単調減少します。よって、$x=-1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(-1) = -(-1)^2 + 2a(-1) + 3 = -1 - 2a + 3 = -2a + 2$

3. 最終的な答え

ア: $(a, a^2+3)$

イ: $a$

ウ: $2$

エ: $2$

オ: $1$

カ: $3$

キ: $-2$

ク: $2$