関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a^2 - 3$ の $-2 \leq x \leq 0$ における最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a < -\frac{1}{3}$ のときと $a \geq -\frac{1}{3}$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a^2 - 3$ の $-2 \leq x \leq 0$ における最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a < -\frac{1}{3}$ のときと $a \geq -\frac{1}{3}$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6ax) - 9a^2 - 3$

$f(x) = -(x^2 - 6ax + 9a^2) + 9a^2 - 9a^2 - 3$

$f(x) = -(x - 3a)^2 - 3$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(3a, -3)$ であり、軸の方程式は $x = 3a$ です。

(i) $a < -\frac{1}{3}$ のとき、すなわち $3a < -1$ のとき、定義域 $-2 \leq x \leq 0$ は放物線の軸 $x = 3a$ より右側にあります。よって、$x = 0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = -0^2 + 6a(0) - 9a^2 - 3 = -9a^2 - 3$

(ii) $a \geq -\frac{1}{3}$ のとき、すなわち $3a \geq -1$ のとき、

$-2 \leq x \leq 0$ に軸 $x=3a$ が含まれるか、もしくは定義域 $-2 \leq x \leq 0$ は放物線の軸 $x = 3a$ より左側にあります。このとき、頂点で最小値をとります。

$m(a) = -3$

次に$m(a) = -9a^2+ウa+エ$となるのは、$3a<-2$のとき、すなわち、$a<-\frac{2}{3}$のときであり、$-2 \leq x \leq 0$において$x=0$で最小となるので、$m(a) = -9a^2 - 3$。したがって、ウ$=0$, エ$=-3$

$m(a) = -9a^2+オa+カ$となるのは、$3a\geq -2$のとき、すなわち、$a\geq-\frac{2}{3}$のときであり、$-2 \leq x \leq 0$において$x=3a$で最小となるので、$m(a) = -3$。したがって、オ$=0$, カ$=-3$

さらに、$a \geq -\frac{1}{3}$の場合、$m(a) = -3$

3. 最終的な答え

ア: (3a, -3)

イ: 3a

ウ: 0

エ: -3

オ: 0

カ: -3