次の連立一次方程式が解を持つための $a$ と $b$ の条件を求め、指定された形式で答えよ。 $\begin{bmatrix} 3 & 1 & -7 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ 求める形式: $\_\_\_a + \_\_\_b = 1$

1. 問題の内容

次の連立一次方程式が解を持つための $a$ と $b$ の条件を求め、指定された形式で答えよ。

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -7 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

求める形式: $\_\_\_a + \_\_\_b = 1$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現すると、次のようになる。

$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -7 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & -3 & | & b \end{bmatrix}$

この拡大行列を簡約化する。まず、1行目と3行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & | & b \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 3 & 1 & -7 & | & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引く。 ($R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$)

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & | & b \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & -2 & 2 & | & 1-3b \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引く。($R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$)

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & | & b \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & 0 & 0 & | & 1-3b - 2a \end{bmatrix}$

この連立一次方程式が解を持つためには、最後の行の右辺が0でなければならない。したがって、

$1-3b - 2a = 0$

$2a + 3b = 1$

3. 最終的な答え

2a + 3b = 1