与えられた2つの方程式について、異なる実数解の個数をそれぞれ調べる。 (1) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 1$ (2) $x\sqrt{6-x} = 4$

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式について、異なる実数解の個数をそれぞれ調べる。

(1) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 1$

(2) $x\sqrt{6-x} = 4$

2. 解き方の手順

(1) の解き方

与えられた方程式は、$x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 1$ である。

左辺を因数分解すると、

$x^2(x^2 - 4x + 4) = 1$

$x^2(x-2)^2 = 1$

$(x(x-2))^2 = 1$

$(x^2 - 2x)^2 = 1$

$x^2 - 2x = \pm 1$

まず、$x^2 - 2x = 1$ の場合を考える。

$x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

次に、$x^2 - 2x = -1$ の場合を考える。

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

よって、$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 1$ である。

したがって、異なる実数解は3個である。

(2) の解き方

与えられた方程式は、$x\sqrt{6-x} = 4$ である。

両辺を2乗すると、

$x^2(6-x) = 16$

$6x^2 - x^3 = 16$

$x^3 - 6x^2 + 16 = 0$

$x=-2$を代入すると、 $(-2)^3 - 6(-2)^2 + 16 = -8 - 24 + 16 = -16 \neq 0$

$x=2$を代入すると、$2^3 - 6(2)^2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$となるので、$x=2$ は解の一つである。

$x^3 - 6x^2 + 16 = (x-2)(x^2 - 4x - 8) = 0$

$x^2 - 4x - 8 = 0$ の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$x = 2, 2 + 2\sqrt{3}, 2 - 2\sqrt{3}$ である。

ここで、元の式 $x\sqrt{6-x} = 4$ に代入して確認する。

$x$ の定義域は、$6-x \geq 0$ より $x \leq 6$ である。

$x = 2$ のとき、$2\sqrt{6-2} = 2\sqrt{4} = 2(2) = 4$ なので、正しい。

$x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) \approx 2 + 3.464 = 5.464 < 6$

$(2 + 2\sqrt{3})\sqrt{6 - (2 + 2\sqrt{3})} = (2 + 2\sqrt{3})\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} > 0$ より、解となりうる。

$x = 2 - 2\sqrt{3} \approx 2 - 3.464 = -1.464 < 6$

$(2 - 2\sqrt{3})\sqrt{6 - (2 - 2\sqrt{3})} = (2 - 2\sqrt{3})\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} < 0$ であるため、 $4$ にはなりえない。

$x=2+2\sqrt{3}$の場合、$6 - (2+2\sqrt{3}) = 4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$

$(2+2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 2(3-1) = 2(2) = 4$

したがって、$x = 2$ と $x = 2 + 2\sqrt{3}$ が解であり、異なる実数解は2個である。

3. 最終的な答え

(1) 3個

(2) 2個