与えられた連立一次方程式が解を持たないような $a$ の値を求めよ。連立一次方程式は以下の通りである。 $ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持たないような $a$ の値を求めよ。連立一次方程式は以下の通りである。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

連立一次方程式が解を持たないための条件は、係数行列の行列式が0となることである。したがって、係数行列の行列式を計算し、それが0になるような $a$ の値を求める。

係数行列を $A$ とすると、

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{bmatrix}$

$A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -1 & a \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot (-4a - (-1)) + 1 \cdot (a - 1) + 1 \cdot (-1 - (-4))$

$= -4a + 1 + a - 1 - 1 + 4$

$= -3a + 3$

連立一次方程式が解を持たないためには、 $|A| = 0$ でなければならない。

したがって、

$-3a + 3 = 0$

$3a = 3$

$a = 1$

次に、$a = 1$のときに解が存在しないことを確認する。$a=1$のとき、連立一次方程式は

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

となる。3行目は1行目と同じなので独立な方程式ではない。したがって、$a=1$ のとき、解が存在しない。

3. 最終的な答え

$a = 1$