与えられた連立一次方程式 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -11 \end{bmatrix}$ が解を持たないような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -11 \end{bmatrix}$

が解を持たないような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

連立一次方程式が解を持たないのは、係数行列の行列式が 0 であり、かつ拡大係数行列の行列式が 0 でないときである。

まず、係数行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - (-1) \cdot 3 = a + 3$

この行列式が 0 になるのは $a = -3$ のときである。

次に、$a = -3$ の場合に拡大係数行列を考える。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 3 & -3 & -11 \end{bmatrix}$

この行列を簡約化する。まず2行目から1行目の3倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目の意味は $0x + 0y = 1$ であり、これは不可能である。

したがって、$a = -3$ のとき、解を持たない。

3. 最終的な答え

-3