SENSEI AI
About App

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}}$

代数学数式計算分数代入
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。
1+xy−2yx+11−11−yx+2xy1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}}

2. 解き方の手順

まず、xy=a\sqrt{\frac{x}{y}} = a と置きます。すると、yx=1a\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{a}となります。
与式は以下のように書き換えられます。
1+a−21a+11−11−1a+2a=1+a−2a+11−1a−1+2a2a=1−a+11−a2a2+a−11 + a - \frac{2}{\frac{1}{a}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a}} = 1 + a - 2a + \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a - 1 + 2a^2}{a}}} = 1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{2a^2 + a - 1}}
さらに計算を続けます。
1−a+11−a(2a−1)(a+1)=1−a+1(2a−1)(a+1)−a(2a−1)(a+1)=1−a+(2a−1)(a+1)2a2+2a−a−1−a=1−a+2a2+2a−a−12a2−1=1−a+2a2+a−12a2−11 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{(2a - 1)(a + 1)}} = 1 - a + \frac{1}{\frac{(2a - 1)(a + 1) - a}{(2a - 1)(a + 1)}} = 1 - a + \frac{(2a - 1)(a + 1)}{2a^2 + 2a - a - 1 - a} = 1 - a + \frac{2a^2 + 2a - a - 1}{2a^2 - 1} = 1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}
=1−a+(2a−1)(a+1)2a2−1=(1−a)(2a2−1)+2a2+a−12a2−1=2a2−1−2a3+a+2a2+a−12a2−1=−2a3+4a2+2a−22a2−1 = 1 - a + \frac{(2a - 1)(a + 1)}{2a^2 - 1} = \frac{(1 - a)(2a^2 - 1) + 2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = \frac{2a^2 - 1 - 2a^3 + a + 2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = \frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}
さらに、複雑な分数の中にある分数から先に計算します。
11−yx+2xy=11−1a+2a=aa−1+2a2=a2a2+a−1\frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a} = \frac{a}{a - 1 + 2a^2} = \frac{a}{2a^2 + a - 1}
したがって、元の式は
1+a−2a+11−a2a2+a−1=1−a+2a2+a−12a2+a−1−a=1−a+2a2+a−12a2−11 + a - 2a + \frac{1}{1 - \frac{a}{2a^2 + a - 1}} = 1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 + a - 1 - a} = 1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}
=1−a+(2a−1)(a+1)2a2−1=(1−a)(2a2−1)+(2a−1)(a+1)2a2−1=2a2−1−2a3+a+2a2+2a−a−12a2−1=−2a3+4a2+2a−22a2−1= 1 - a + \frac{(2a - 1)(a + 1)}{2a^2 - 1} = \frac{(1-a)(2a^2 - 1) + (2a - 1)(a+1)}{2a^2 - 1} = \frac{2a^2 - 1 - 2a^3 + a + 2a^2 + 2a - a - 1}{2a^2 - 1} = \frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}
少し計算を変更します。11−11−yx+2xy\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}} の分母から整理します。
1−1a+2a=a−1+2a2a=2a2+a−1a1 - \frac{1}{a} + 2a = \frac{a - 1 + 2a^2}{a} = \frac{2a^2 + a - 1}{a}
1−12a2+a−1a=1−a2a2+a−1=2a2+a−1−a2a2+a−1=2a2−12a2+a−11 - \frac{1}{\frac{2a^2 + a - 1}{a}} = 1 - \frac{a}{2a^2 + a - 1} = \frac{2a^2 + a - 1 - a}{2a^2 + a - 1} = \frac{2a^2 - 1}{2a^2 + a - 1}
よって
11−11−yx+2xy=2a2+a−12a2−1\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}} = \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}
元の式は
1+a−2a+2a2+a−12a2−1=1−a+2a2+a−12a2−1=2a2−1−2a3+a+2a2+a−12a2−1=−2a3+4a2+2a−22a2−11 + a - 2a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = 1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = \frac{2a^2 - 1 - 2a^3 + a + 2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1} = \frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}
ここで、a=1a=1を代入すると、1+1−2+11−11−1+2=0+11−12=112=21 + 1 - 2 + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - 1 + 2}} = 0 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
もし、a=1a=1なら、−2+4+2−22−1=21=2\frac{-2+4+2-2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2.
もしxy=1\frac{x}{y} = 1 すなわち x=yx = y ならば、
1+1−2+11−11−1+2=11−12=112=21 + 1 - 2 + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - 1 + 2}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

3. 最終的な答え

2

「代数学」の関連問題

$x, y$ は実数とします。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べてください。 (1) $x > y \implies x - y > 0$ (2) $xy \neq 0 ...

命題真偽論理不等式実数
2025/6/13

$x, y$ は実数とする。次の条件の否定を述べよ。 (1) $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ (2) $x = 0$ または $y = 0$ (3) $x, y$ はともに有理数

論理否定実数
2025/6/13

問題は、与えられた条件が他の条件を満たすための必要条件、十分条件、または必要十分条件のどれであるかを判断することです。 (1) $\triangle ABC$が正三角形であることは、$\triangl...

必要条件十分条件必要十分条件不等式絶対値条件
2025/6/13

与えられた3つの連立一次方程式を解きます。 (1) $2x - y - z = -5$ $4x - 5y - 2z = -1$ $-2x + 3y + z = 3$ (2) $x_1 + 2x_2 -...

連立一次方程式線形代数方程式の解法
2025/6/13

与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立方程式は以下の通りです。 $2x - y - z = -5$ $4x - 5y - 2z = -1$ $-2x + 3y + z = 3$

連立一次方程式方程式の解線形代数
2025/6/13

## 連立一次方程式を解く

連立一次方程式ガウスの消去法線形代数
2025/6/13

与えられた2つの行列の階数を求めます。行列は以下の通りです。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pma...

線形代数行列階数掃き出し法
2025/6/13

与えられた二つの行列を階段行列に変形する問題です。

行列階段行列線形代数行列の基本変形
2025/6/13

与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列をそれぞれ階段行列に変形します。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 ...

線形代数行列階段行列掃き出し法
2025/6/13

与えられた2つの行列をそれぞれ階段行列に変形する問題です。

線形代数行列階段行列行列の基本変形
2025/6/13