与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y = x^2 + 10x + 9$ ($-3 \le x \le -1$)

代数学二次関数最大値最小値平方完成定義域
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。
(1) y=x2+2xy = x^2 + 2x (4x1-4 \le x \le -1)
(3) y=x2+10x+9y = x^2 + 10x + 9 (3x1-3 \le x \le -1)

2. 解き方の手順

(1)
まず、y=x2+2xy = x^2 + 2x を平方完成します。
y=x2+2x=(x+1)21y = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1
頂点は(1,1)(-1, -1)です。
定義域は4x1-4 \le x \le -1なので、
x=1x = -1のとき、最小値y=1y = -1をとります。
x=4x = -4のとき、y=(4)2+2(4)=168=8y = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8なので、最大値y=8y = 8をとります。
(3)
まず、y=x2+10x+9y = x^2 + 10x + 9 を平方完成します。
y=x2+10x+9=(x+5)225+9=(x+5)216y = x^2 + 10x + 9 = (x+5)^2 - 25 + 9 = (x+5)^2 - 16
頂点は(5,16)(-5, -16)です。
定義域は3x1-3 \le x \le -1なので、
x=3x = -3のとき、y=(3)2+10(3)+9=930+9=12y = (-3)^2 + 10(-3) + 9 = 9 - 30 + 9 = -12
x=1x = -1のとき、y=(1)2+10(1)+9=110+9=0y = (-1)^2 + 10(-1) + 9 = 1 - 10 + 9 = 0
したがって、最大値は00、最小値は12-12です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8 (x = -4), 最小値: -1 (x = -1)
(3) 最大値: 0 (x = -1), 最小値: -12 (x = -3)

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