以下の4つの問題を解く。 (1) $(3a-4)(4a+3)$ を展開し、整理する。 (2) $x^2 + 8x + 16 - 4y^2$ を因数分解する。 (3) $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動したグラフの方程式を求める。 (4) 放物線 $y = -x^2 + 2x + a$ と $y = 2x^2 + bx + 5$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解く。

(1) $(3a-4)(4a+3)$ を展開し、整理する。

(2) $x^2 + 8x + 16 - 4y^2$ を因数分解する。

(3) $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動したグラフの方程式を求める。

(4) 放物線 $y = -x^2 + 2x + a$ と $y = 2x^2 + bx + 5$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(3a-4)(4a+3)$ を展開する。

$(3a-4)(4a+3) = 12a^2 + 9a - 16a - 12 = 12a^2 - 7a - 12$

(2) $x^2 + 8x + 16 - 4y^2$ を因数分解する。

$x^2 + 8x + 16 - 4y^2 = (x+4)^2 - (2y)^2 = (x+4+2y)(x+4-2y) = (x+2y+4)(x-2y+4)$

(3) $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動したグラフの方程式を求める。

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動する場合、$x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置き換える。

$y - (-2) = (x-3)^2$

$y + 2 = (x-3)^2$

$y = (x-3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 9 - 2 = x^2 - 6x + 7$

(4) 放物線 $y = -x^2 + 2x + a$ と $y = 2x^2 + bx + 5$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求める。

$y = -x^2 + 2x + a = -(x^2 - 2x) + a = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + a = -(x-1)^2 + 1 + a$

頂点は $(1, 1+a)$

$y = 2x^2 + bx + 5 = 2(x^2 + \frac{b}{2}x) + 5 = 2(x^2 + \frac{b}{2}x + (\frac{b}{4})^2 - (\frac{b}{4})^2) + 5 = 2(x + \frac{b}{4})^2 - 2(\frac{b}{16}) + 5 = 2(x + \frac{b}{4})^2 - \frac{b^2}{8} + 5$

頂点は $(-\frac{b}{4}, -\frac{b^2}{8} + 5)$

頂点が一致するので、

$1 = -\frac{b}{4}$

$1+a = -\frac{b^2}{8} + 5$

$b = -4$

$1+a = -\frac{(-4)^2}{8} + 5 = -\frac{16}{8} + 5 = -2 + 5 = 3$

$a = 3 - 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $12a^2 - 7a - 12$

(2) $(x+2y+4)(x-2y+4)$

(3) $y = x^2 - 6x + 7$

(4) $a = 2$, $b = -4$