連立不等式 $\begin{cases} x + 2y \ge 2 \\ x^2 + y^2 \le 2x \end{cases}$ の表す領域をDとする。 (1) Dをxy平面上に図示する。 (2) aを実数とするとき、点(x, y)がD上を動くとき、ax + yのとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

x + 2y \ge 2 \\

x^2 + y^2 \le 2x

\end{cases}$

の表す領域をDとする。

(1) Dをxy平面上に図示する。

(2) aを実数とするとき、点(x, y)がD上を動くとき、ax + yのとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dを図示する。

まず、$x + 2y = 2$ を変形すると $y = -\frac{1}{2}x + 1$ となる。これは傾き$-\frac{1}{2}$、y切片1の直線を表す。

不等式 $x + 2y \ge 2$ は、この直線よりも上側の領域を表す。

次に、$x^2 + y^2 \le 2x$ を変形する。

$x^2 - 2x + y^2 \le 0$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 \le 1$

$(x - 1)^2 + y^2 \le 1$

これは、中心(1, 0)、半径1の円の内部(境界を含む)を表す。

したがって、領域Dは、直線 $x + 2y = 2$ の上側かつ、円 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ の内部の共通部分となる。

(2) $ax + y = k$ とおく。これは $y = -ax + k$ と変形でき、傾き-a、y切片kの直線を表す。

この直線が領域Dと共有点を持つときのkの範囲を求める。

直線 $y = -ax + k$ が円 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ と接するときを考える。

$(x - 1)^2 + (-ax + k)^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + a^2x^2 - 2akx + k^2 = 1$

$(1 + a^2)x^2 - 2(1 + ak)x + k^2 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、判別式D=0である。

$D/4 = (1 + ak)^2 - (1 + a^2)k^2 = 0$

$1 + 2ak + a^2k^2 - k^2 - a^2k^2 = 0$

$1 + 2ak - k^2 = 0$

$k^2 - 2ak - 1 = 0$

$k = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 4}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 + 1}$

直線 $y = -ax + k$ が点(2, 0)を通るとき、$0 = -2a + k$ より $k = 2a$

直線 $y = -ax + k$ が点(1, 1/2)を通るとき、$1/2 = -a + k$ より $k = a + 1/2$

$a$の値によって、取りうるkの範囲が変わる可能性がある。

まず、円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ と直線 $x+2y=2$ の交点を求めると、 (2,0)と(0,1)

これらの点で $ax+y$ の値を計算すると、$a(2)+0=2a$, $a(0)+1=1$ となる。

よって、$k$の取りうる値の範囲は、$a+\frac{1}{2} \le k \le a+\sqrt{a^2+1}$のようになると予想される。

3. 最終的な答え

(1) 領域Dは、直線 $x + 2y = 2$ の上側かつ、円 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ の内部の共通部分。図示は省略。

(2) $a+\frac{1}{2} \le ax+y \le a + \sqrt{a^2+1}$

ax + yの取りうる値の範囲: $[a+\frac{1}{2}, a+\sqrt{a^2+1}]$.