与えられた数式の計算を行う問題です。数式は次の通りです。 $1 + \frac{\frac{x}{2}\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{y}{x}}}{1 + \frac{x}{2}\sqrt{\frac{y}{x}} - \frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の計算を行う問題です。数式は次の通りです。

$1 + \frac{\frac{x}{2}\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{y}{x}}}{1 + \frac{x}{2}\sqrt{\frac{y}{x}} - \frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}}}$

2. 解き方の手順

まず、数式を整理します。

$\sqrt{\frac{y}{x}}$を$A$とおきます。すると、与えられた式は

$1 + \frac{\frac{x}{2}A - A}{1 + \frac{x}{2}A - \frac{x}{y}A}$

となります。次に、分子と分母をそれぞれ$A$でくくります。

$1 + \frac{A(\frac{x}{2} - 1)}{A(1 + \frac{x}{2} - \frac{x}{y})}$

$A$を約分します。

$1 + \frac{\frac{x}{2} - 1}{1 + \frac{x}{2} - \frac{x}{y}}$

分母と分子に2をかけて整理します。

$1 + \frac{x - 2}{2 + x - \frac{2x}{y}}$

さらに、分母と分子に$y$をかけます。

$1 + \frac{y(x - 2)}{y(2 + x) - 2x}$

$1 + \frac{xy - 2y}{2y + xy - 2x}$

最後に、1を足し合わせます。

$\frac{2y + xy - 2x + xy - 2y}{2y + xy - 2x}$

$\frac{2xy - 2x}{2y + xy - 2x}$

分子を$2x$、分母を$2$でくくると

$\frac{2x(y - 1)}{2y + xy - 2x}$

これ以上簡単な形にならないため、これが答えです。

3. 最終的な答え

$\frac{2x(y - 1)}{2y + xy - 2x}$