二次関数 $y = -4x^2 + 4x - 2$ と $y = -3x^2 - 4x - 1$ の最大値または最小値を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -4x^2 + 4x - 2$ と $y = -3x^2 - 4x - 1$ の最大値または最小値を求める。

2. 解き方の手順

どちらの関数も $x^2$ の係数が負であるため、上に凸のグラフになる。したがって、最大値を持ち、最小値は存在しない。最大値を求めるには、平方完成して頂点を求める。

(2) $y = -4x^2 + 4x - 2$ について:

$y = -4(x^2 - x) - 2$

$y = -4(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2$

$y = -4((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 2$

$y = -4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 - 2$

$y = -4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$

頂点は $(\frac{1}{2}, -1)$ であり、最大値は $-1$ である。

(4) $y = -3x^2 - 4x - 1$ について:

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) - 1$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

頂点は $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ であり、最大値は $\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(2) 最大値: $-1$

(4) 最大値: $\frac{1}{3}$